دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن ژنرال پونسله فرانسوی می‌باشد که دارای آثاری همچون «موارد استعمال آنالیز در ریاضی» و«خواص تصویری اشکال» می‌باشد. اکتشافات پونسله باعث ترقی عظیمی در هندسه جدید گردید. وی برای اولین بار عوامل موهومی را در هندسه دخالت داد و تعبیر کرد و گذشته از آن پونسله «اصل ثنویت» و طریقة تعاکس را فراهم آورد و طریقة اخیر خود به خود هرگونه اکتشاف جدید را مضاعف می‌نماید: در حیقیقت به موجب این اصل تمام احکام هندسه تصویری دو بدو وابسته به یکدیگرند و برای رجوع از یکی به دیگری کافیست که در احکام قضایا عمل نقطه و خط را با یکدیگر عوض نمائیم. همچنین لازارکانو فرانسوی را باید نام ببریم که اکتشافات هندسی او دارای اهمیت اساسی می‌باشد.

لازار که تمام کوشش خود را برای آزاد کردن هندسه از قید آنالیز بکار می‌برد دارای آثاری نظیر «هندسه وضعی» و «مطالعات دربارة نظریة موربات» می‌باشد که در پیشرفت هندسه ترکیبی که همان باقیماندة هندسه قدما می‌باشد مؤثر واقع شد. این هندسه که از زمان دکارت به بعد مورد توجه واقع نشده بود در نتیجة اکتشافات او و نیز کشفیات پونسله و شال فرانسوی آبروی جدیدی یافت و ترقیات شگرفی نمود.

میشل شال هندسه مطلق را با اعلی‌ترین درجة هنر و استادی و با منتهای ظرافت و زیبائی به بالاترین حد ممکن ترقی داد. هدف اصلی او این بود که مسائل هندسه را بدون کمک محاسبه مطالعه نماید.

شال در سال 1834 افکار خود را در کتابی به نام «چشم انداز تاریخی» منتشر کرد که به دریافت جایزه‌ای از آکادمی بلژیک موفق شد و شهرتی فراوان کسب کرد و در اواخر عمر تئوری «مشخصات» را اختراع کرد که از طرف جامعة سلطنتی انگلستان به اخذ جایز نایل گردید.

در نیمه اول قرن نوزدهم ریاضیدان نابغة روس نیکلای ایوانویچ لوباچوسکی استاد دانشگاه قازان با شجاعت تمام مطرح نمود که: اصل اقلیدس نتیجه منطقی سایر اصول هندسه نیست و بنابراین خود را درباره «هندسه غیر اقلیدسی» به جامعه ریاضیات و فیزیک قازان تقدیم کرد. در این هندسه قبول شده است که از هر نقطه واقع در خارج یک خط بی‌نهایت خط عبور می‌کند که آن را قطع نخواهد کرد. به این ترتیب لوباچوسکی این فکر را که هندسه اقلیدسی همچون آیات آسمانی حقیقت مطلق است از میان برد و این کار قدرت فکری بی‌مانند و جرأت علمی حیرت آوری لازم داشت که نتایج آن تا ایام ما نیز روز به روز ظاهر می‌شود.

بدون شک، تردید لوباچوسکی دربارة حقیقتی که بیست و یک قرن تمام مورد تصدیق همة جهانیان بود یکی از نتایج انقلابات سیاسی و اجتماعی است که در آنوقت تمام اروپا را تحت تأثیر قرار داده بود. تقریباً در همان زمان ریاضیدان بزرگی درکشور مجارستان که تا آن موقع خارج از جریان ترقیات علمی بسر می‌برد پیدا شد که همان نتایج ریاضیدان بزرگ روسی را بدست آورد. این شخص ژان بولیه بود که اثر خود را تحت عنوان «مطالعات مقدماتی در اصول ریاضیات مطلق» دربارة هندسه غیر اقلیدسی در سال 1832 انتشار داد.

وی نیز همچون لوباچوسکی ایمان و اعتقاد قطعی به هندسه اقلیدسی را باطل دانست و راه را برای ریمان آلمانی باز کرد که بیست و دو سال بعد از این تاریخ با قدرت بی‌مانندی فتوحات دو دانشمند متقدم خود را توسعه داد.
آن هندسه غیراقلیدسی که ریمان عرضه داشت دارای مفهومی به مراتب وسیعتر از آنچه که بولیه و لوباچوسکی در نظر داشتند می‌باشد.

بعد از او نوبت به ریاضیدان روسی پانتونی چبیچف استاد دانشگاه سن‌پطرزبورگ رسید و از آن پس کرونکر پر وسی وارد این صحنه گردید. وی با توسعة قلمرو قدیمی اعداد جبری – اعدادی که می‌توانند ریشة یک معادلة جبری با ضرایب صحیح یا کسری باشند – طرح انقلابی را ریخت که مشابه با انقلاب غیر اقلیدسی‌ها دربارة علم هندسه بود.

چندی بعد ادوارد کومر آلمانی در نتیجه اختراع نوعی از اعداد که به اعداد «ایده‌آل» موسومند جایزه ریاضیات آکادمی علوم پاریس را بدست آورد. این اکتشافات او بعدها بوسیله آلمانی دیگر به نام دده کیند که آخرین شاگرد گائوس بود اصلاح شد. دده کیند توانست مسأله‌ای را که از زمان ادوکس تا آن موقع متوقف مانده بود‌، یعنی تعریف دقیق اعداد اندازه نگرفتنی را با نهایت کفایت مورد مطالعه قرار دهد.

در اینجا ذکر نام دانشمندانی نظیر شارل وایراشتراس و شارل هرمیت که در مورد توابع بیضوی کشفیات ارزشمندی نمودند ضروری می‌باشد.

وایراشتراس آلمانی در توابع آبل که تعمیم توابع بیضوی می‌باشد مطالعات فراوان کرد و تئوری توابع نامتغیر مختلط را که به وسیلة کوشی و گائوس مطالعه شده بود به باد انتقاد گرفت و موضوع را از نظر دیگری _ به وسیلة بسط توابع تحلیلی به سری‌های کامل _ مورد مطالعه قرار داد و این تئوری را بر مبانی جدیدی متکی ساخت

یکی دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن سیمون دنی‌پوآسون (1840_ 1781) فرانسوی و شاگرد لاپلاس می‌باشد که اکتشافات مهمی در ریاضیات کرد. وی تئوریهای مهم اولر، لاگرانژ و لاپلاس را در مورد جاذبة اسحاق نیوتنی که به تئوری پتانسیل مشهور است در مورد الکتریسیته بکار برد و از 1824 آنها را در مورد مغناطیس نیز تعمیم داد. در سال 1828 این تئوریها به وسیلة ریاضی‌دان انگلیسی جورج گرین اصلاح شد و این شخص واضع دستور مهمی بنام فرمول گرین است که تمام ریاضی‌دانان آنرا به خوبی می‌شناسند.
گاوس ریاضی‌دان شهیر آلمانی که عنوان «پرنس ریاضی‌دان» بحق شایستة اوست، این تئوریها را مورد مطالعه قرار داد و تئوری کامل مغناطیس را بوجود آورد. مقام گاوس از لحاظ علمی همتای اسحاق نیوتن و ارشمیدس است. از اکتشافات درخشان او اولین دورة هندسه دیفرانسیل می‌باشد که منظور از آن مطالعة منحنیات و سطوح در نقاط بسیار نزدیک با یک نقطة بخصوص می‌باشد. مطالعات او دربارة انحناء و ترسیم نقشه‌ها و نمایش سطوح بر صفحات، اصلی و اساسی می‌باشد.

کوشی فرانسوی، این ریاضی‌دان پرشور که در سراسر نیمة اول قرن نوزدهم بر دیگر هموطنان برتری داشت با منطق دقیق خود تئوریهای زیادی از حساب انتگرال را توسعه داد و آنالیز را واجد دقتی کرد که هندسه از زمان اقلیدس به بعد افتخار آنرا داشت. وی از سال 1820 تا سال 1830 تئوری توابعی را که دارای یک متغیر موهومی هستند بنا نهاد. این تئوری که امروزه بزرگترین عنوان افتخار او محسوب می‌شود‌، دانشمندان بزرگی نظیر ریمان، وشتراس، هرمیت و پوانکاره را بخود مشغول داشت.

علاوه بر مکتب ریاضیات فرانسوی و آلمانی مکتب ریاضیات دیگری وجود داشت و آن مکتب ریاضیات انگلیسی بود که کم‌کم از تاریکی خارج می‌شد. از نوابغ بزرگ این کشور ویلیام روون هامیلتون ایرلندی را بایستی نام برد که از لحاظ پیش‌رسی عجیب بود. در 5 سالگی متون لاتینی و یونانی و عبری را می‌خواند و ایتالیائی و فرانسوی را در 8 سالگی و عربی و سانسکریت را در 10 سالگی آموخت و در 14سالگی برای سفیر ایران خطابة خوشامدی به زبان فارسی تهیه کرد. این استعداد بی‌مانند بزودی متوجه علوم گردید بطوری که در 17 سالگی هامیلتون تمام حساب انتگرال را بخوبی می‌دانست و خسوف و کسوف را بخوبی پیش‌بینی می‌کرد و در 22سالگی استاد نجوم گردید. کارهای او بخصوص مربوط به مبحث نور، دستگاههای اشعه و مبحث دینامیک است. وی ملاحظات گاوس را درفضای سه بعدی تعمیم داد و در سال 1843 اولین اکتشاف خود را درباره کوآترنیون‌ها یعنی جبر فضائی که تعمیم جبر گاوس و کوشی می‌باشد به آکادمی سلطنتی ایرلند تقدیم کرد. تقریباً در همین فکر را نه تنها در مورد فضای سه بعدی بلکه به فضای n بعدی تعمیم داد.

دوپیش درآمد ناگوار در حدود سال 1830 تاریخ علم را تاریک ساخته است. آبل نروژی و گالوای فرانسوی‌، پس از یک زندگانی بسیار کوتاه و پرهیجان در حالی که نتیجه با ارزش کشفیات اساسیشان شناخته نشده بود با رنج و مرارت درگذشتند.

نیل هنریک آبل متولد اوت 1802 در سال 1824 ثابت نمود که صرفنظر از معادلات درجة اول تا درجة چهارم، هیچ دستور جبری که بتواند معادلة درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد و برای اینکه کارهای خود را به دیگران بشناساند در سال 1825 به آلمان سفر کرد و چون در آنجا نشانی از زندگی بدست نیاورد به پاریس روی نهاد. آبل در این شهر در شاهکار بزرگ خود دست دیگری برد و مقاله‌ای «دربارة خاصیت عمومی طبقة بسیار وسیعی از توابع غیر جبری» انتشار داد. وی در نتیجة مکاشفه‌ای که تنها حاصل نبوغش بود توانست راه خود را کج کند و انتگرالهای بیضوی لژاندر را مورد مطالعه قرار دهد و کشف او آنقدر استادانه بود که با نهایت سادگی کاری را که استاد بزرگ مزبور در مدت چهار سال انجام داد تبدیل به هیچ کرد.

آبل این کشف ذیقیمت خود را به کوشی سپرد. اما افسوس! کوشی آنرا گم کرد و نروژی بیچاره در حالی که آخرین شاهی خود را مصرف کرده بود و آخرین امید خود را از دست داده بود ناچار شد به وطنش مراجعت کند، و هم در آنجا بود که آبل در نتیجه محرومیتها و گرفتاریهای فراوان به مرض سل مبتلا گشت و در ششم آوریل 1829م جان سپرد. دو روز پس از آن تاریخ کوشی نسخة خطی او را پیدا کرد و آکادمی علوم از ارزش آن آگاه شد و جایزة بزرگ خود را به آپل و ژاکوپی آلمانی تخصیص داد. ولی آبل آنچنان فراموش شده بود که نامی از او در میان نبود و کسی نمی‌دانست که دو سال پیش مرده است.

گالوا که زندگیش در تاریخ علم صفحه‌ای اندوهبار گشوده است در 26 اکتبر 1811م در پاریس متولد شد. در 14 یا 15 سالگی بجای انجام تکالیف عادی دبیرستان اوقات خود را صرف مطالعه در هندسه لژاندر و آثار بزرگ لاگرانژ و اکتشافات آبل می‌نمود. وی پس از عدم موفقیت در امتحان ورودی مدرسة پلی تکتنیک و نیز رانده شدن از دانشسرای عالی و مخصوصاً به سبب آشنا نبودن با دانشمندان مشهور وارد مبارزات سیاسی شد،‌ او عقیده داشت:
«من برای دانشمند شدن چیزی کم دارم و بنابراین قلب من آرزوئی دارد که مغز من قادر به انجام آن نیست.»
گالوا پس از چند ماه زندانی شدن آزاد شد. ولی درحالی که فقط چند روز بیش از بیست سال و هفت ماه داشت در یک دوئل بخاطر زنی هرجائی مجروح گردید. شاید در تمام تاریخ علم فصلی حزن انگیز‌تر از شب 29ماه مه 1832وجود نداشته باشد.
گالوا «تئوری گروهها» را که قبلاً بوسیله کوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به کار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص کرد. این تئوری که امروزه تعمیم یافته و در عین حال ساده‌تر شده است برای حل مسائل گوناگون بکار می‌رود و وسیلة جستجوی بدست فیزیکدانان زمان ما داده است.

ریاضی‌دانان انگلیسی سنسن و استوارت ضمن اکتشافات خود مسائل مختلفی از هندسه را استادانه مورد مطالعه قرار دادند. همچنین بروک تایلور و کولین ماکلرین کوششهای رها شدة اسحاق نیوتن را ادامه دادند. تایلور باعث توسعة فوق‌العادة آنالیز ریاضی عناصر بی‌نهایت کوچک که توسط لایب نیتس عرضه شده بود گردید و ماکلرین روش او را اصلاح کرد.

منجم انگلیسی هالی که در هندسه قدما نیز مطالعة بسیار می‌کرد آثار منلائوس و آپولونیوس را به چاپ رسانید و اولین راه حل مسألة یک مقطع مخروطی را با معلوم بودن سه نقطه ویک کانون آن به دست داد.

آبراهام مواور پروتستان فرانسوی که به انگلستان تبعید شده بود یک قضیة اصلی و اساسی دربارة اعداد موهومی ابداع کرد.

همچنین میش رول فرانسوی قضیه مهمی در جبر ابداع کرد و هموطن دیگر او آنتوان پاران هندسه تحلیلی دکارت را به فضای سه بعدی تعمیم داد. از جمله دانشمندانی که برای بسط کارهای لایب نیتس می‌کوشیدند می‌توان خانوادة برتونی را نام برد. این خانواده از اهالی آنورس بلژیک بودند که به یال از شهرهای آلمان فرار کرده بودند.

ارشد ایشان ژاک اول حساب دیفرانسیل لایب نیتس را در دانشگاه بال تدریس می‌کرد. وی از جملة کسانی است که چگونگی محاسبة انتگرالها را تعلیم می‌داد. بعد از مرگ او برادرش ژان اول جانشین وی شد.

دیگر لئونارداولر ریاضی‌دان بزرگ سوئیسی است که در 15 آوریل 1707م در شهر بال متولد شد و در 17 سپتامبر 1783م در روسیه درگذشت.

در اواخر قرن هیجدهم و اوایل قرن نوزدهم کشور فرانسه پیشرو نهضت علمی اروپا بود و این پیشرفت را باید نتیجه انقلاب کبیر سال 1789م دانست که باعث تهییج حس ملی مردم شد و علم را لازمة زندگی قرارداد و به این ترتیب جنبش جدیدی در جستجوها و کشفیات علمی بوجود آورد. نفوذ آزادی خواهانة انقلاب در عین حال که زوائد خفه کننده علم را از آن دور کرد کشور فرانسه را نیز به مقام راهنمای علمی اروپا ارتقاء داد.
ارتقاء به این مقام بواسطة وجود مردانی نظیر لاگرانژ، لاپلاس، لژاندر، مونژ، فوریه و غیره بود. عمومی شدن تحصیلات علمی و ترویج کامل آن بطور محسوسی جستجوها و کشفیات علمی را افزایش داد. به این ترتیب بهترین و مشهورترین دانشمندان فرانسه نخستین میوه‌های شیرین دوران انقلاب را می‌چیدند.

لاگرانژ از جملة بزرگترین ریاضی‌دانان تمام ادوار تاریخ بشر است. وی در 19 سالگی حساب تغییرات را اختراع کرد که روش جدیدی در آنالیز است و به کمک آن خیلی سهلتر از حساب دیفرانسیل بعضی از مسائل مربوط به ماکزیمم و مینیمم را حل کرد. وی براساس کارهای دالامبر تمام متدهای مختلفی را که تا آنروز برای حل مسائل مکانیک مورد استفاده قرار می‌گرفت جمع نمود. «مکانیک تحلیلی» او که در سال 1788م عمومیت پیدا نمود بزرگترین شاهکار وی بشمار می‌آید. همچنین در سال 1797م تئوری توابع تحلیلی خود را نوشت که فجر دوران جدید را اعلام می‌کرد. دو سال بعد «حل معادلات عددی» را انتشار داد و قدرت خویش را در سیاحت راههای جدیدی که خود برای آنالیز باز کرده بود مضاعف ساخت. این دانشمند گرانقدر که ))ناپلئون او را «هرم مرتفع علوم ریاضی» می‌نامید در دهم آوریل 1813 در ««پاریس، شهری که انقلاب زمینه افتخار را برایش تدارک دیده بود زندگی را بدرود گفت.

لاپلاس که در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود علاقه زیاد به علوم دقیقه داشت. وی با انتشار کتبی از قبیل «تئوری تحلیلی احتمالات» (1812) و «مطالعات فلسفی دربارة احتمالات» (1814) حساب احتمالات را تکمیل نمود و از سال 1799تا سال 1825 کتابی تحت عنوان «مکانیکآسمانی» در پنج جلد انتشار داد.
گاسپارمونژ، این ریاضی‌دان انقلابی و نابغة دانشمند هنگامی که هنوز بیست سال نداشت شاخة جدید علم هندسه بنام «هندسه ترسیمی» را بوجود آورد. در این هندسه اشکال مجسم را به وسیلة دو تصویر آنها روی صفحات قائم و افقی نمایش می‌دهند و برای اینکار دو صفحة مزبور را همچون کتابی که روی میز بازمانده، باشد، بر روی یک صفحه تسطیح می‌‌نمایند. این طریقه که امروز مبنای همة ترسیمات ماشینها و معماری است نسبت به روشهای تجربی و مبهم قدیم آنقدر بزرگ و مهم بود که مونژ را وادار کردند قسم بخورد که این اکتشاف رافاش نخواهد کرد و مدت 15 سال آن را جزو اسرار نظامی مخفی کرده بودند. همچنین مونژ هندسه بی‌نهایت کوچکها را در فضای سه‌بعدی معمول کرد و پیشرفتهای زیادی به نظریة معادلات با مشتقات جزئی داد. این ریاضی‌دان بزرگ دربارة انحناء سطوح نیز کارهای مهمی دارد.

ژان بابتیست فوریه که در زمان انقلاب معلم ریاضیات بود در مسأله انتشار حرارت روش بسیار بدیع و جالبی اختراع کرد. این روش که بعدها تمام مباحث فیزیک را تحت تأثیر خود قرار داد و یکی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید عبارت بود از گسترش توابع به سری‌های مثلثاتی که آنها را سریهای فوریه نامیدند و مطالعة عمیق دربارة آنها هنوز ادامه دارد.

درایتالیا آثار کاوالیری فصل جدیدی در هندسه بوجود آورد. وی در سال 1629 ایده‌آلهای ارشمیدس را تحت عنوان «هندسه غیر قابل تقسیمها» دنبال نمود و در 1635 نیز کتابی به همین نام انتشار داد. طبق نظر او هریک از اجزاء مرتباً تقسیم بدو می‌شدند و بی‌نهایت کوچک می‌گردیدند. همچنین اولین جستجوهای مربوط بهحساب بی‌نهایت کوچکها از اوست.

در نیمه دوم قرن هفدهم ریاضی بطور دقیق و کنجکاوانه‌ای دنبال شد. سه نابغه فناناپذیر این دوره یعنیاسحاق نیوتنانگلیسی، لایب نیتس آلمانی و هویگنس هلندی جهان علم را روشن کرده بودند.

اسحاقاسحاق نیوتن روز چهارم ژانویه سال 1643 در وولسی تورپ واقع در ناحیه لینکولشایر متولد شد و در بیستم مارس 1827 در گذشت. وی در هیجده سالگی جزو شاگردان مجانی وارد دانشگاه کمبریج شد و در آنجا ابتدا آثار اقلیدس و سپس هندسه دکارت را مطالعه کرد. در سال 1673 با کتاب هویگنس بنام «درباره نوسان ساعتها» که برای اولین‌بار اصول مکانیک آسمانی را شامل بود آشنائی یافت. مسلماً این کتاب موجب تقویت افکار او درباره قانون جاذبه گردید و کم‌کم می‌خواست او را بستوه آورد. در این هنگام وی تصمیم گرفت افکاری را که تا آنروز در مغز خود محفوظ داشته بود روی کاغذ آورد و بنا بر این از سال 1684 به نوشتن کتاب «اصول» مشغول شد. وی تحت عنوان «حسابفلوکسیونها» روش نوینی برای پیشرفت حساب بی‌نهایتکوچکها ایجاد نمود که باعث ترقی و توسعه علم‌القوا یا دینامیک گردید.
لایپ نیتس در سوم ژوئیه سال 1646 یعنی سه سال بعد از تولد اسحاق نیوتن در شهر لایپزیک آلمان چشم به دنیا گشود. وی درهمه بخشهای معارف بشری مطالعات عمیق کرد، و در همه آنها مطالب درجه اولی کشف نمود. ریاضیات، حقوق، مذهب، سیاست، تاریخ، ادبیات، منطق، مابعدالطبیعه و فلسفه هریک پس از دیگری توجه او را جلب کرد. در سال 1684 با انتشار مقاله‌ای درباره حساب عناصر بی‌نهایت کوچک انقلابی برپا کرد. وی در این مقاله یک منحنی را مرکب ازبی‌نهایت پاره‌خط راست که هریک بی‌نهایت کوچک بودند فرض کرده بود و اگر می‌خواست کمیتی مثل حرارت را مورد مطالعه قرار دهد که از مقداری معین تا مقداری دیگر تغییر می‌کرد چنین تصور می‌کرد که این تغییرات تشکیل یافته است از مجموع بی‌نهایت تغییرات کوچک، و این تغییرات جزئی را دیفرانسیل و مجموع آنها را انتگرال نامید. با کشف دیفرانسیل وسیله جدیدی برای تحقیق آنالیز بوجود آمد. ورود آنالیز عناصر بی‌نهایت کوچک در قلمرو علم همچون هجوم طوفان و یا موج مقاومت ناپذیری بود که به کلی دانش ریاضی را زیر و رو کرد و به آن صورت جدیدی بخشید.

هویگنس در 14 ماه آوریل 1629در شهر لاهه متولد شد. وی در تکمیل دینامیک و مکانیک استدلالی با اسحاق نیوتن همکاری کرد و عملیات مختلف آنها باعث شد که ارزش واقعی حساب انتگرال در بسط و توسعه علوم دقیقه روشن گردد. همچنین هویگنس دست به اصلاح ساعت زد و به این منظور دنباله تجسسات گالیله را گرفت.
در قرن هیجدهم دیگر تمام طوفانهای قرن هفدهم فرو نشست و تحولات این قرن عجیب به یک دوره آرامش مبدل گردید. تمام جهد و کوشش دانشمندان مصروف این می‌شد تا با وسایل جدید نتایج کشفیات اساسی متقدمین را توسعه دهند.

در اوایل این قرن موارد استعمال حساب بی‌نهایت کوچک‌ها در منحنی ‌ها و رویه ها کشف گردید و همچنین حساب احتمالات تکمیل شد، باضافه کشفیات سرشار اسحاق نیوتن درباره مکانیک آسمانی که مدتی بدون انعکاس ماند مخصوصاً به کمک دانشمندان فرانسوی بسط داده شد.

دالامبر فرانسوی آنالیز ریاضی را در مکانیک بکار برد و از روشهای آن استفاده کرد و احکامی را که تا آنزمان فقط جنبه استنتاجات هندسی داشت به معادله گذارد ومبنای تمام این بنای عظیم فقط اصل ساده‌ای بود، دالامبر با خود گفته بود: وقتی که جسمی حرکت می‌کند دلیل برآنست که نیروئی بر آن وارد می‌شود، بنابراین حتماً مابین این نیروها و تغییراتی که در حرکت ایجاد می‌شود تساوی یا تعادل وجود دارد، به عبارت دیگر گوئی که جسم با وجود حرکت در حال تعادل است.

کلرو رقیب او در 18 سالگی کتابی بنام «تفحصات درباره منحنی‌های دوانحنائی» انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله‌ای تهیه و به آکادمی علوم تقدیم نمود که شامل مطالب جالب توجهی مخصوصاً در اطراف مکانیک آسمانی و هندسهبی‌نهایتکوچکها بود.
در اواسط این قرن هویگنس و نیوتون درباره معماری نور به موشکافی پرداختند.

اسحاق نیوتن در ضمن آزمایشهای خود به این نتیجه رسید که نور سفید تمام انوار مختلف را شامل است وبرای امتحان صحت این موضوع اشعات رنگین مختلف را با هم مخلوط کرد و از مجموعه آنها نور سفید بدست آورد و برای اینکه استدلال خود را قوی سازد دسته‌ای از نور سفید حاصل را روی تیغه باریکی انداخت و یک سلسله حلقه‌های رنگین بدست آورد که نام حلقه‌های اسحاق نیوتن روی آنها مانده است.

برجسته‌ترین نامهائی که در این دوره ملاحظه می‌نمائیم، در مرحله اول لئوناردیوناکسی (1220_1170) ریاضی‌دان ایتالیائی است. وی که مدتهادر مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. همچنین برای اولین بار علم جبررا در هندسهمورد استفاده قرار داد. دیگر نیکلاارسم فرانسوی می‌باشد که باید او را پیشقدم هندسه تحلیلیدانست. وی اولین کسی است که نه تنها مجذور و مکعب و توانهای چهارم و پنجم اعدادرا در نظر گرفت بلکه اعدادرا بقوای کسری از قبیل یک دوم و دو سوم و یک هفتم و غیره نیز رسانید و به عبارت دیگر وانهای کسری اعدادرا بدست آورد.

در قرن پانزدهم ترقی فنی، پیشرفت علوم نظری را تحت‌الشعاع خود را قرار داد. اختراع چاپ در سال 1440 بوسیله گوتنبرگ سبب آن شد که تعداد کتاب در جهان با سرعتی صاعقه‌آسا رو به افزایش نهد و زمینه برای مطالعة منابع علمی گذشته که کم و بیش فراموش شده بود مهیا گردد.

در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیائی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مکانیک ترقیات شایان نمودند. تارتاگلیا و کاردان در ایتالیا سنن ریاضی‌دانان عهد عتیق را از سر گرفتند.

رژیمن تانسوس آلمانی که از جمله بزرگترین منجمان این دوره است کتاب قدیمی‌ترین کتاب جالبی دربارة مثلثات نگاشت. این کتاب قدیمی‌ترین کتاب کامل مثلثات است که در مغرب‌زمین انتشار یافت. همچنین ژان‌ورتر از اهالی نورنبرگ آلمان که به هندسه قدما به خوبی مسلط بود راه‌حل عالمانه و بدیعی از یکی از مسائل ارشمیدس که موضوع آن تقسیم کره به کمک صفحه به نسبت معلومی بود بدست داد. وی در تمام قسمتهای ریاضی بخصوص مثلثات تألیفات بسیار دارد.

ریاضی‌دانان فرانسوی در اوایل قرن شانزدهم عموماً مادون ایتالیائی‌ها بودند. مشهورترین آنها یکی اورنس فین است که در هندسه بویژه در موردتربیع دایره اکتشافات تازه‌ای کرد. دیگر پی‌یرلارامه موسوم به راموس است که بیشتر از لحاظ آثار فلسفی خود شهرت یافت. با وجود این به ریاضیات نیز علاقه فراوان نشان داد تا جائی که کتابی در ستایش ریاضیات و کتاب دیگری در مقدمات حسابو هندسهتألیف کرد. بالاخره کاندال را باید نام ببریم که در مطالعات مخصوص به چند وجهی‌ها تخصص یافت.

در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی بنام فرانسواویت (1603_1540م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یکی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابلة جدید و در عین حال هندسه ‌دان قابلی بود. مثلثات جدید فقط متکی‌بر زحمات اوست. هر چند بسیاری از قدما و دانشمندان جدید باری پایه‌گذاری اساس آن زحماتی کشیده‌اند، اما ترقی آن کاملاً مرهون وی است. او اولین کسی است که مثلث کروی را با معلوم بودن سه ضلع آن حل کرد و در عین حال نخستین ریاضی‌دانی است که برای حل مسأله ترسیم دایره مماس بر سه دایرة دیگر راه‌حل هندسی بدست داد و ریشه‌های معادلة درجه چهارم را ساخت.

کشور دانش خیز هلند نیز در اواخر این قرن مهد آزادی و یکی از مراکز مهم علمی جهان شده بود. آدرین‌رومن و سپس آدرین متیوس مقدار تقریبی عدد پی را محاسبه کردند و یکی دیگر از هموطنان آنان بنام وان سولن تا 30 رقم اعشار آن را بدست آورد.

همچنین انگلستان که در آغاز قرن شانزدهم برای پیشرفت علم جبرکوشیده بود اینک با کشف لگاریتم بوسیله جان نپر تئوری فن محاسبة عددی را یک قدم قطعی بجلو برد.

کوپرنیک(1543_1473) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم در کتاب مشهور خود بنام «دربارة دوران اجسام آسمانی» که همزمان با مرگش انتشار یافت تصویری از منظومة شمسی بدست داد که امروز هر دانش آموزی با آن آشناست:

1. مرکز منظومة شمسی، خورشید است نه زمین.
2. در حالی که ماه بگرد زمین می‌چرخد، سیارات دیگر، همراه با خود زمین بگرد خورشید می‌چرخند.
3. زمین در هر 24 ساعت یکبار حول محور خود می‌چرخد نه کرة ستاره‌های ثابت.

پس از مرگ کوپرنیک در قلب اروپا، در کشور دانمارک مردی بنام تیکو براهه متولد شد که کارهای او پایه و اساس انقلاب قریب الوقوع نجوم گردید. وی نشان داد که حرکت سیارات کاملاً با نمایش و تصویر دایره‌های هم‌مرکز وفق نمی‌دهد. از آنجا که تیکو براهه بیشتر به رصدهای مستقیم و اندازه‌گیری سرگرم بود، هیچ کوشش برای تجزیه و تحلیل نتایج خود انجام نداد و این کار به یوهان کپلر که در سال آخر زندگی تیکو براهه دستیار وی بود محول گشت.

پس از سال‌ها کار، وی به نخستین کشف مهم خود رسید و چنین یافت که سیارات در حرکت خود به گرد خورشید یک مدار کاملاً دایره شکل نمی‌پیمایند بلکه همة آنها بر روی بیضی‌هایی حرکت می‌کنند که خورشید در یکی از دو کانون آنها قرار دارد.
همچنین وی در نخستین‌بار اصل ماند (اصل جبر) را در مکانیک حدس زد که بعدها بوسیلة گالیله صورت تحقیق یافت.

در سال 47ق.م که ژول سزار نیروی دریایی مصررا آتش زد، در کتابخانه بزرگ اسکندریه نیز حریقی ایجاد شد که قسمت اعظم آنرا نابود ساخت. بالاخره در سال 30ق.م به هنگام امپراطوری ملکه کلئوپاترا کشور مصریکی از ایالات امپراطوری روم شد.

در این دوره کوتاه از کشفیات جدید خبری نبود و دانشمندان متوسطی نظیر بطلیموس، منلائوس و باپوس نیز که ظهور کردند تنها به تعلیم و انتشار آثار قدما اکتفا نمودند.

بطلیموس که به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارددر تعقیب افکار هیپارک کوشش بسیار کرد.

کتاب مشهور او به نام اصلی«ترکیب ریاضی» شامل یک دستگاه هیأت بیان حرکت دورانی اجسام سماوی و یکدورة کامل مثلثاتکروی و مستقیم‌الخط و توضیح و محاسبة نمودهای حرکت بومی است. این کتاب را درسال 827 از یونانی به عربی ترجمه کردند ونام آنرا مجسطی یعنی «بسیار بزرگ» نهادند و از آن پس به همین نام باقی ماند.

منلائوس که در اواخر قرن اول میلادی در اسکندریه می‌زیست به امر امپراطور دومی سین کتابی تألیف کرد که قضیه معروف منلائوس دربارة چهارضلعی محاطی در آن ذکر شده است.

پاپوس که دورة زندگانیش در حدود 350 میلادی بوده است دارای کتابی است به نام «مجموعة ریاضیات». هدف وی از تدوین این کتاب آن بوده است که به اختصار نتایجی را که از بدو پیدایش علم هندسه تا آن زمان حاصل شده بود برای خود بیان نماید. با این حال در موارد بسیار احکام جدید و جالبی که از اکتشافات خودش می‌بود و بر آن افزود. مسألة معروف پاپوس که در همه کتابهای هندسة ما وجود دارد و قضیه بسیار مهم تعیین مرکز نقل سطوح و احجام که برخلاف واقع آنرا به گولدن نسبت داده‌اند.

در این احوال هندوستان به منزلة یک مرکز جدید روشنفکری توسعه می‌یافت و چنین به نظر می‌رسید که علم بدانجا فرار کرده و یا به عبارت بهتر فقط آنجا را مقام خود ساخته است. زیرا سابق براین در زمان یونانی‌ها نیز در آنجا وجود داشته است. علوم هندی بیش از علوم تمام ممالک دیگر که تاکنون از ایشان سخن گفتیم در خدمت مذهب بود وشامل بعضی مقدمات علم طب یعنی همانقدر که برای ساختن مشروبات مقدس کفایت می‌کردو مختصری از علوم نجومیعنی درست همان اندازه که برای تشکیل تقاویم مذهبی مورد نیاز است و اندکی هندسه، مرکب از بعضی طرق عملی که برای ساختن مسجد و محراب لازم است بیش نبود.


در نخستین قرون تاریخ چهار ریاضی‌دان مشهور در این کشور وجود داشت که عبارت بودند از:

آپاستامبا(قرن پنجم)، آریاب هاتا (قرن ششم)، براهماگوپتا (قرن هفتم) و بهاسکارا (قرن نهم) که در کتب ایشان بخصوص قواعد تناسب ساده و ربح مرکب مشاهده می‌شود. محاسبات در این کتابها جنبه شاعرانه داشت و حتی نام علم حسابرا «لیلاواتی» گذارده بودندکه معنی دلبری و افسونگری دارد! با شروع قرن دهم پیشرفت کشفیات ریاضی در هندوستاننیز متوقف گردید و مشعل فروزان علم بدست اعراب افتاد.

در سال 622م که حضرت محمدصلی الله علیه و آله وسلماز مکه هجرت فرمود در واقع آغاز شگفتی تمدن اسلام بود. اعراب که جنبش شدید خود را از سدة هفتم آغاز کرده بودند پس از رحلت پیغمبر اسلام در 632 به توسعه سرزمینهای خود پرداختند و بزودی تمام ممالک آفریقائی ساحل مدیترانه را متصرف شدند و این توسعه‌طلبی ایشان را در اروپاتا اسپانیاو در آسیاتا هندوستانکشانید و در نتیجه تماس با کشورهای مغلوب که مردم آنها غالباً دارای تمدن عالی بودند ذوق شدیدی به آموختن در ایشان بوجود آمد. لذا با سهولت و چالاکی فرهنگ ممالک دست نشانده را پذیرفتند.

در زمان مامون خلیفه عباسی تمدن اسلام بحد اعتلای خود رسید بطوری که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی علمی بین‌المللی گردید.

از ریاضی‌دانان بزرگ اسلامی یکی خوارزمیمی‌باشد که در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغدادکتاب مشهورالجبر و المقابله را نگاشت.

وی در این کتاب بدون آنکه از حروف و علامات استفاده کند، حل معادلة درجه اولرا بدو طریقی که ما امروزه جمع جبری جمل و نقل آنها از یکطرف بطرف دیگر می‌نامیم، انجام داده است.

دیگر ابوالوفا (998_ 938) است که جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورده و بالاخره محمدبن هیثم(1039_ 965) معروف به الحسن را باید نام بردکه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوماست.

قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یکی از دردناکترین ادوار تاریخی اروپاست. عامة مردم در منتهای فلاکت و بدبختی بسر می‌بردند. جنگهای متوالی و قتل و غارت و از طرف دیگر نفوذ کلیسا آنچنان فکر مردم را به خود مشغول داشته بود که هیچ کس فرصت آنرا نمی‌یافت که در فکر علم باشد، آری مدت هفت قرن تمام اروپا محکوم به این بود که بار گران جهل و نادانی را بر دوش کشد. در اواخر قرن دهم ژربر فرانسوی کوشید تا به کمک مطالبی که در چند مدرسه از کلیساهای بزرگ اروپا آموخته بود پیشرفت جدیدی به علوم مقدماتی بدهد. وی دستگاه مخصوص را که برای محاسبه بکار می‌رفت اصلاح کرد. این دستگاه همان چرتکه بود.

انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور که مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه‌هایش را می‌داند انجام می‌داد. اما بزودی مجبور شد وسیلة شمارش دقیقتری بوجود آورد. لذا، به کمک انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد که مبنای آن 60 بود. این دستگاه شمار که بسیار پیچیده می‌باشد قدیمی‌ترین دستگاه شماری است که آثاری از آن در کهن‌ترین مدارک موجود یعنی نوشته‌های سومری مشاهده می‌شود.

سومریها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین‌النهرین، یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی، عکاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.

در این موقع مصریها نیز در سواحل سفلای رود نیل تمدنی درخشان پدید آورده بودند. طغیان رود نیل هر سال حدود و ثغور زمینهای زراعتی این قوم را محو می‌کرد. احتیاج به تقسیم مجدد این اراضی موجب رهبری آنها به اولین احکام سادة هندسی گردید. همچنین مبادلات تجارتی و تعیین مقدار باج و خراج سالیانه آنها را وادار به توسعه علم حساب نمود این اطلاعات همگی از روی پاپیروسها و الواحی است که در نتیجه حفاریها بدست آمده و به خط هیروگلیفی می‌باشد. قدیمی‌ترین آنها که مربوط به 1800 سال قبل از میلاد است شامل چند رساله دربارة علم حساب و مسائل حساب مقدماتی می‌باشد، از آن جمله رسالة پاپیروس آهس است که درسال 1868 توسط ایسنلر مصرشناس مشهور ترجمه شد. سایر تمدنهای شرقی نظیر چینی و هندی در ترویج دانش نقش مؤثری نداشته‌اند و جز برخی نتایج پراکنده که در زیر فشار مفاهیم ماوراءالطبیعه خرد شده است چیزی از آنان در دست نیست.

قریب هزار سال پس از نابودی فرهنگ قدیم مصر و محو تمدن آَشور، یونانیان از روی مقدمات پراکنده و بی‌شکل آنها علمی پدید آوردند که در واقع به عالیترین وجه مرتب و منظم گردیده و عقل و منطق را کاملاً اقناع می‌نمود.

نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (639_548ق.م) است که در پیدایش علوم نقش مهمی بعهده داشته و می‌توان ویرا موجد علوم فیزیک ، نجوم و هندسه «تشابه» به او کاملاً بی‌اساس است.

در اوایل قرن ششم ق.م. فیثاغورث (572_500 قبل از میلاد) از اهالی ساموس یونان کم‌کم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مکتب فلسفی خویش همت گماشت. فیثاغورثیان عدد را بخاطر هم‌آهنگی و نظمی که دارد اساس ومبدأ همه چیز می‌پنداشتند و بر این عقیده بودند که تمام مفاهیم را به کمک آن می‌توان بیان نمود.

پس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی که در 490ق.م در ایلیا متولد شده است نام ببریم.

در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی کیوس فضاهایی متفرق آن زمان را گردآوری کرد و در حقیقت همین قضایا است که مبانی هندسة جدید ما را تشکیل می‌دهند.

در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبی ایجاد کرد که نه قرن بعداز او نیز همچنان برپا ماند. وی ریاضیات مخصوصاً هندسه را بسیار عزیز می‌داشت، تا جائی که بر سردر مکتب خود این جمله را حک کرده بود: «هرکس هندسه نمی‌داند به اینجا قدم نگذارد». این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضیدان معاصر وی ادوکس با ایجاد تئوری نسبت‌ها نشان داد که کمیات اندازه نگرفتنی که تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر کرده بود هیچ چیز غیر عادی ندارد و می‌توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها بکار برد.

در این احوال اسکندر کشورها را یکی پس از دیگری فتح می‌کرد و هرجا را که بر روی آن انگشت می‌نهاد مرکزی از برای پیشرفت تمدن یونانی می‌شد.

پس از مرگ این فاتح مقتدر در 323ق.م و تقسیم امپراطوری عظیم او، مصر بدست بطلیموس افتاد و امپراطوری بطالسه را تشکیل داد. بطالسه که اسکندریه را به پایتختی برگزیده بودند تمام دانشمندان را بدانجا پذیرفتند و همین دانشمندان در صدد ایجادکتابخانة بزرگی در این شهر ساحلی برآمدند و به توسعه و تکمیل آن همت گماشتند.

اکنون به زمانی رسیده‌ایم که بایستی آنرا عصر طلائی ریاضیات یونان نامید. اهمیت فوق‌العاده این دوره به سبب ظهور سه عالم بزرگ ریاضی یعنی اقلیدس ، ارشمیدس و آپولونیوس است که هم در دوران خود و هم برای قرون بعد از خویش شهرتی عالمگیر کسب نمودند.

در قرن دوم ق.م نام تنها ریاضیدانی که بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارک بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ که بین سالهای 161تا 126ق.م در رودس متولد شد گامهای بلند و استادانه‌ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع کرد.

هیپارک نخستین کسی بود که تقسیم‌بندی معمولی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را نیز به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی تابع شعاع دایره بدست آورد که وترهای بعضی از قوسها را می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.