مقدمه  

علومی که از  یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به  بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط  کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون  آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات  زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت  به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری  برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی  خلاصه می شد.  

در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفادهاز این اصول استنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابراصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خطمفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یکقضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند.خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. درتلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هاییبود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برایظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سالاصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوهبر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت وآزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.

1-5 اصطلاحاتبنیادی ریاضیات

طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های موردمطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که درنفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیفشایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته برریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخلریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.

بنابراین،اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نهاحتیاجی به این بحث هست. یک وقت براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است کهدر آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.

دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریفنشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایجتاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخصمی کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که دراصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل هایدرست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعدمنطق بستگی دارند.

بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراجبرخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد،آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست.این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده ی کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت وکشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این کشف اثرآزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.

2-5 اشکالات وارد برهندسه اقلیدسی

هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت:

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.

اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتدادداد.

اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و باشعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.

اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هممساوی اند.

اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط میتوان موازی با خط مفروض رسم کرد.

اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول رانداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهتداشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل موردسئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نهاصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تریقرار داد.

در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی،جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و ... تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفادهاز سایر اصول نتیجه بگیرند و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشهابی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود بهکار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.

یانوش بویوئی یکی ازریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالهادر این مسیر تلاش کرده بود .
3-5 هندسه های نا اقلیدسی

اساساً هندسهنااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونههندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی واقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقعبر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.
نقیض این اصل را به دو صورت میتوان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد،بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسههای نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد.

یک -هندسه های هذلولوی

هندسه های هذلولوی توسط بویوئی و لباچفسکی بطورمستقل و همزمان کشف گردید.

اصل توازی هندسه هذلولوی - از یک خط و یک نقطه ینا واقع بر آن دست کم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد.

دو - هندسه های بیضوی

در سال 1854 فریدریش برنهاردریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگیآن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر، هندسهسازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسهبیضوی بصورت زیر ارائه گردید.

اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقعبر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.

یعنی در هندسه بیضوی،خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظرگرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره هایعظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژئودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشیاز یک دایره عظیمه است.

در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از 180درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، میتوان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یکدایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.

در جدول زیر هر سه هندسه ها بایکدیگر مقایسه شده اند: